Question

【题目】已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+ ．

（1）当n=1时，求点A的坐标；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，

当n=1时，s= ，

∴a= = ．

（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n= ．

∴1+ = an．

即n4﹣4n2+4=0，

∴k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n．

设△OPQ的面积为s1

则：s1= ∴ mn= （1+ ），

即：n4﹣4n2+4=0，

∴k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，

∴△OPQ∽△OAP．

设：△OPQ的面积为s1，则 =

即： = 化简得：

化简得：

2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0

（k﹣2）（2k﹣n4）=0，

∴k=2或k= （舍去），

∴当n是小于20的整数时，k=2．

∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，

∴n是大于0且小于20的整数．

当n=1时，OP2=5，

当n=2时，OP2=5，

当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，

当n是大于3且小于20的整数时，

即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：

42+ 、52+ 、62+ …192+ ，

∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，

∴OP2的最小值是5．

【解析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形， 由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.