Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC的内角平分线与外角平分线分别交BC及BC的延长线于点P、Q．

（1）求∠PAQ的大小；

（2）若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）由角平分线的性质及∠BAD为平角直接可得；（2）由于线段PM、CM、BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此，可证PM＝AM，从而证明△ACM与△ABM相似即可．

解：

（1）∵AP平分∠BAC，∴，

又∵AQ平分∠CAD，∴．

∴．

又∵∠BAC＋∠CAD＝∠180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°．

（2）证明：如图，连接AM，∵∠PAQ＝90°，M是PQ的中点，∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM．

∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，

∴∠B＝∠CAM，∵∠AMC＝∠BMA，

∴△ACM∽△BAM．

∴．∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM．