Question

【题目】问题背景：如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得四边形EFGH是正方形．

类比探究：如图2，在正△ABC的内部，作∠1＝∠2＝∠3，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）．

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；

（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；

（3）如图3，进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．

Answer 1

【答案】（1）△ABD≌△BCE≌△CAF，证明详见解析；（2）△DEF是正三角形，理由详见解析；（3）c2＝a2+ab+b2．

【解析】

（1）由正三角形的性质得出∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC，证出∠ABD＝∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；

（2）由全等三角形的性质得出∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，证出∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，即可得出结论；

（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．

（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：

∵△ABC是正三角形，

∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC，

又∵∠1＝∠2＝∠3，

∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF，

在△ABD、△BCE和△CAF中，

，

∴△ABD≌△BCE≌△CAF（ASA）；

（2）△DEF是正三角形；理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，

∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，

∴△DEF是正三角形；

（3）c2＝a2+ab+b2．理由如下：

如图所示，作AG⊥BD于G，

∵△DEF是正三角形，

∴∠ADG＝60°，

在Rt△ADG中，∠AGD=90°，∠ADG=60°，

∴∠DAG=30°，

∴DG＝AD=b，

∴AG＝=b，

∴BG=BD+DG=a+b，

在Rt△ABG中，∠AGB=90°，

∴AB2=BG2+AG2，

即c2＝（a+b）2+（b）2，

∴c2＝a2+ab+b2．