Question

【题目】如图1，在中，平分，平分．

(1)若，则的度数为______；

(2)若，直线经过点．

①如图2，若，求的度数(用含的代数式表示)；

②如图3，若绕点旋转，分别交线段于点，试问在旋转过程中的度数是否会发生改变?若不变，求出的度数(用含的代数式表示)，若改变，请说明理由：

③如图4，继续旋转直线，与线段交于点，与的延长线交于点，请直接写出与的关系(用含的代数式表示)．

Answer 1

【答案】（1）130°；（2）①90-；②不变，90-；③∠NDC+∠MDB=90-．

【解析】

（1）根据已知，以及三角形内角和等于180，即可求解；

（2）①根据平行线的性质可以证得∠ABD=∠BDM=∠MBD，∠CND=∠A=，再利用含有的式子分别表示出∠NDC、∠MDB，进行作差，即可求解代数式；

②延长BD交AC于点E，则∠NDE=∠MDB，因此∠NDC-∠MDB=∠NDC-∠NDE=∠EDC，再利用三角形内角和为180，即可求解；

③如图可知，∠NDC+∠MDB=180-∠BDC，利用平角的定义，即可求解代数式．

解：（1）∵∠A=80

∴∠ABC+∠ACB=180-80=100

又∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=100=50．

∴ ∠BDC=180-50=130．

（2）①∵MN//AB，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠ABD=∠BDM=∠MBD，∠CND=∠A=，

∴ ∠NDC=180--∠ACB，∠MDB=∠ABC，

∴∠NDC-∠MDB=180--∠ACB-∠ABC=180--（∠ACB+∠ABC）=180--（180-）=90-．

②不变；延长BD交AC于点E，如图：

∴∠NDE=∠MDB，

∵∠BDC=180-（∠ACB+∠ABC）=180-（180-）=90+，

∴∠NDC-∠MDB=∠NDC-∠NDE=∠EDC=180-∠BDC=180-（90+）=90-，

同①，说明MN在旋转过程中∠NDC-∠MDB的度数只与∠A有关系，而∠A始终不变，

故：MN在旋转过程中∠NDC-∠MDB的度数不会发生改变．

③如图可知，∠NDC+∠MDB=180-∠BDC，

由②知∠BDC=90+，

∴∠NDC+∠MDB=180-（90+）=90-．

故∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90-．