Question

【题目】如图，抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点A（-1，0）在抛物线y= x2 + bx-2上，
∴ × (-1 )2 + b× (-1)–2 = 0，
解得b= ，
∴ 抛物线的解析式为y= x2- x-2.
y= ( x2 -3x- 4 ) = (x-)2- ,
∴顶点D的坐标为 ( ,- ).
（2）解：当x = 0时y = -2,
∴C（0，-2），OC = 2。
当y = 0时， x2- x-2 = 0，
∴x1 =-1， x2 = 4,
∴B (4,0)
∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.
∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,
∴AC2 +BC2 = AB2.
∴△ABC是直角三角形.
（3）解：作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，设M点（m,0）则OM=m,

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小及△DCM的周长最小
设抛物线的对称轴交x轴于点E.则E点（，0），
∴ME=-m, ED= ;
∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴ ， ∴m = ．
所以M的坐标为（ ，0）
【解析】（ 1）将A点的坐标代入函数解析式y= x2 + bx-2，得出一个关于b的一元一次方程，求解得出b的值，从而得出二次函数的解析式，然后用配方法将函数解析式陪成顶点式，从而得出顶点D的坐标 ；
（2）首先根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点得出C,B两点的坐标，从而得出OC,OA,OB,AB的长度，根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形.；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，设M点（m,0）则OM=m,根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小及△DCM的周长最小 ，设抛物线的对称轴交x轴于点E..则E点（，0） ,从而得出ME=-m, ED= ; 由于ED∥y轴，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似得出△C′OM∽△DEM.根据相似三角形对应边成比例得出OM∶EM＝OC'∶ED ,从而得出一个关于m的一元一次方程，求解得出m的值，从而得出M点的坐标 。