Question

【题目】已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2．

（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；

（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积（用a表示）；

（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能

【解析】解：（1）过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，

∠HEF＝90°，EH＝EF，

∴∠AEH＋∠BEF＝90°．

∵∠AEH＋∠AHE＝90°，

∴∠AHE＝∠BEF．

又∵∠A＝∠B＝90°，

∴△AHE≌△BEF．

同理可证△MFG≌△BEF．

∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．

∴．

（2）过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF．

∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．

∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．

∴∠AHE＝∠MFG．

又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，

∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．

∴．

（3）△GFC的面积不能等于2．

说明一：∵若S△GFC＝2，则12－a＝2，∴a＝10．

此时，在△BEF中，

．

在△AHE中，

，

∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S△GFC＝2．

说明二：△GFC的面积不能等于2．∵点H在AD上，

∴菱形边EH的最大值为，∴BF的最大值为．

又∵函数S△GFC＝12－a的值随着a的增大而减小，

∴S△GFC的最小值为．

又∵，∴△GFC的面积不能等于2．