Question

【题目】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：OE=OF；

（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明见解析，（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形．证明见解析．

【解析】

（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；

（2）根据AO=CO，EO=FO可得四边形AECF平行四边形，再证明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；

（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形，首先证明为矩形，再证明AC⊥EF根据对角线互相垂直的矩形是正方形可得结论．

（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

∴∠2=∠5，∠4=∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1=∠5，∠3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF；

（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．

证明：如图，当O为AC的中点时，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

分别平分

∠ECF=90°，

∴平行四边形AECF是矩形．

（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形．

证明：如图，由（2）可得点O在边AC上运动到AC中点时平行四边形AECF是矩形，

∵∠ACB=90°，

∴∠2=45°，

∵平行四边形AECF是矩形，

∴EO=CO，

∴∠1=∠2=45°，

∴∠MOC=90°，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF是正方形．