Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．

求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）若 ，求⊙O的半径。

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°

即AD是底边BC上的高．

又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ∴D是BC的中点

（2）解：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，∴ ∠CBE=∠CAD．

又∵ ∠BCE=∠ACD，∴△BEC∽△ADC；

（3）解：由△BEC∽△ADC得： ，

即CD·BC=AC·CE．

∵D是BC的中点，∴CD= BC．

又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE= BC·BC=AB·CE

即BC =2AB·CE=12

∴AB=6

∴⊙O的半径为3

【解析】（1）由AB是⊙O的直径，得到AD是底边BC上的高，根据等腰三角形的三线合一得到D是BC的中点；（2）根据圆周角定理可知∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，得到∠CBE=∠CAD，根据两角对应相等两三角形相似，得到△BEC∽△ADC；（3）由△BEC∽△ADC，得到比例，再由D是BC的中点，根据切线长定理求出AB的长，得到⊙O的半径的值.