Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；
③3a+c＞0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
⑤当x＜0时，y随x增大而增大；
其中结论正确有 ．

Answer 1

【答案】①②⑤
【解析】解：∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），

∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；

∵x=﹣ =1，即b=﹣2a，

而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，

∴a+2a+c=0，所以③错误；

∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），

∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．

故答案为①②⑤．

根据抛物线与x轴交点的个数得出b2﹣4ac＞0，抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴一个交点坐标是（﹣1，0），根据抛物线的对称性知对称点的坐标为（3，0），从而得出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，由对称轴知b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，故a+2a+c=0，y＞0时看x轴上方，即看点（﹣1，0）与（3，0）之间的图像得出，当﹣1＜x＜3时，y＞0，当x＜0时，看y轴左边的图像，图像从左至右上升，故y随x的增大而增大。