Question

【题目】已知：如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，AC=CP．

（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若PC=6，AB=4 ，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接OC；

∵OA=OC，AC=CP，

∴∠A=∠OCA=30°，∠P=∠A=30°，

∴∠POC=∠A+∠OCA=60°，

∴∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴CP是⊙O的切线．

（2）解：∵AB=4 ，

∴OC=OB=2 ，

∴

= × =6 ，

=2π，

∴图中阴影部分的面积=6 ﹣2π．

【解析】（1）连接OC；由等边对等角得出∠A=∠OCA=30°，∠P=∠A=30°，利用三角形的外角得出∠POC=∠A+∠OCA=60°，进而根据三角形的内角和得出∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°，从而得出结论；（2）由三角形的面积公式得出S △ O C P = O C P C，由扇形面积公式得出S扇形OBC=2π，图中阴影部分的面积=S △ O C P-S扇形OBC计算即可。
【考点精析】掌握切线的判定定理和扇形面积计算公式是解答本题的根本，需要知道切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．