Question

【题目】探究题．

已知:如图．

求证:

老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？

（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是_________．

（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线然后在平行线间画了一点，连接后，用鼠标拖动点分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的与之间也可能存在着某种数量关系于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．

请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：

①猜想图①中与之间的数量关系并加以证明：

②补全图③，直接写出与之间的数量关系：_______．

（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于平行于地面

，若，则_______．

Answer 1

【答案】（1）两直线平行同旁内角互补；（2）①∠BDF=∠B+∠F．理由见解析；②∠F=∠D+∠F；（3）120°．

【解析】

（1）利用平行线的性质证明即可．
（2）①结论：∠BDF=∠B+∠F．如图①中，作DK∥AB．利用平行线的性质证明即可．
②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质证明即可．
（3）利用图1中的结论，计算即可．

（1）证明：如图1中，

∵AB∥EF，CD∥EF，
∴CD∥EF，
∴∠B+∠CDB=180°，∠F+∠CDF=180°（两直线平行同旁内角互补），
∴∠B+∠CDB+∠CDF+∠F=360°，
∴∠B+∠BDF+∠F=360°，
故答案为：两直线平行同旁内角互补．
（2）解：①结论：∠BDF=∠B+∠F．
理由：如图①中，作DK∥AB．

∵AB∥DK，AB∥EF，
∴DK∥EF，
∴∠B=∠BDK，∠F=∠FDK，
∴∠BDF=∠BDK+∠FDK=∠B+∠F．
②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．

理由：∵AB∥EF，
∴∠1=∠F，
∵∠1=∠B+∠D，
∴∠F=∠D+∠B．
故答案为∠F=∠D+∠F．
（3）解：如图2中，

∵BA⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵∠ABC+∠BAE+∠BCD=360°，∠BCD=150°，
∴∠ABC=360°-240°=120°，
故答案为120°．