Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC= ，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G，则AG的长为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：作BH⊥CD于H，如图，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∵sin∠BAC= = ，

∴AC=3BC=6，

∵BC=BD=2，

∴CH=DH，

∵∠HBC+∠ACB=90°，∠BAC+∠ACB=90°，

∴∠HBC=∠BAC，

∴sin∠HBC= ，

在Rt△HBC中，∵sin∠HBC= = ，

∴HC= BC= ，

∴CD=2CH= ，

∴AD=AC﹣CD=6﹣ = ，

∵Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，

∴∠BCE=∠ACF，CB=CE，CA=CF，

∴∠CBE= （180°﹣∠BCE），∠CAF= （180°﹣∠ACF），

∴∠CBE=∠CAF，

∵∠BDC=∠ADG，

∴∠AGD=∠BCD，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠BDC，

∴∠ADG=∠AGD，

∴AG=AD= ．

所以答案是 ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解余角和补角的特征的相关知识，掌握互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，以及对等腰三角形的性质的理解，了解等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．