Question

【题目】如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB，AC于E，F，已知EF∥BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若已知AE=9，CF=4，求DE长；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，求tan∠AFE的值及GD长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2，

∴ = ，

∴OD⊥EF，

∵EF∥BC，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切线

（2）解：连接DE，

∵ = ，

∴DE=DF，

∵EF∥BC，

∴∠3=∠4，

∵∠1=∠3，

∴∠1=∠4，

∵∠DFC=∠AED，

∴△AED∽△DFC，

∴ ，即 ，

∴DE2=36，

∴DE=6

（3）解：过F作FH⊥BC于H，

∵∠BAC=60°，

∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，

∴FH= DF= =3，DH=3 ，

∴CH= = ，

∵EF∥BC，

∴∠C=∠AFE，

∴tan∠AFE=tan∠C= = ；

∵∠4=∠2．∠C=∠C，

∴△ADC∽△DFC，

∴ ，

∵∠5=∠5，∠3=∠2，

∴△ADF∽△FDG，

∴ ，

∴ = ，即 = ，

∴DG= ．

【解析】（1）连半径，证垂直。连接OD，由AD是△ABC的角平分线。得出圆周角相等，继而得弧相等，根据垂径定理得出OD⊥EF，再根据EF∥BC，得到OD⊥BC，即可得证。
（2）先证明DE=DF，再证明△AED∽△DFC，根据相似三角形的性质得对应边成比例，即可求出DE的长。
（3）抓住已知∠BAC=60°，既可以证得∠4=30°，由此添加辅助线过F作FH⊥BC于H，Rt△DFH和Rt△FHC中就可以求出线段FH、DH、CH的长，根据平行得角相等，即可求出an∠AFE的值，再证明△ADC∽△DFC和△ADF∽△FDG，找到中间比，继而就可以求出DG的长。
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的相关知识，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，以及对切线的判定定理的理解，了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．