Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B（1，0），交y轴于C点，且OC=2OB．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上找点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标．
（3）在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ⊥AC于Q，使△APQ与△ABC相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵B（1，0），OC=2OB，

∴C（0，﹣2），

设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），

把C（0，﹣2）代入得a4（﹣1）=﹣2，解得a= ，

∴抛物线的解析式为y= （x+4）（x﹣1），即y= x2+ x﹣2

（2）解：AB=1﹣（﹣4）=5，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

把B（1，0），C（0，﹣2）代入得 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=2x﹣2，

设D（m，2m﹣2），

∵△ABD为以AB为腰的等腰三角形，

∴BD=BA=5或AD=AB=5，

当BD=BA时，即（m﹣1）2+（2m﹣2）2=52，解得m1=1+ ，m2=1﹣ ，此时D点坐标为（1+ ，2 ），（1﹣ ，﹣2 ），

当AD=AB时，即（m+4）2+（2m﹣2）2=52，解得m1=1（舍去），m2=﹣1，此时D点坐标为（﹣1，﹣4），

综上所述，满足条件的D点坐标为（1+ ，2 ），（1﹣ ，﹣2 ），（﹣1，﹣4）

（3）解：AB2=25，BC2=12+22=5，AC2=42+22=20，

∵AB2=BC2+AC2，

∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，

∵∠BAC=∠CAO，

∴△ACO∽△ABC，

∵△APQ与△ABC相似，

∴∠CAP=∠OAC，

∴AC平分∠BAP，

设直线AP交y轴于E，作CF⊥AE于F，

则CF=CO=2，

∵∠CEF=∠AEO，

∴△ECF∽△EAO，

∴ = = = ，

在Rt△AOE中，∵OE2+OA2=AE2，

∴（2+CE）2+422，解得CE=﹣2（舍去）或CE= ，

∴E（0，﹣ ），

设直线AE的解析式为y=mx+n，

把A（﹣4，0），E（0，﹣ ）得 ，解得 ，

∴直线AE的解析式为y=﹣ x﹣ ，

解方程组 ，解得 或 ，

∴P（﹣ ，﹣ ）．

【解析】根据OC=2OB．及点B的坐标就可以求出点C的坐标，注意：点C在y轴的负半轴，A、B两点坐标是此抛物线与x轴的两交点坐标，因此设函数解析式为两根式，代入点的坐标即可求出此抛物线的函数解析式。
（2）先求出AB的长及直线BC的函数解析式，抓住点D在直线BC上，设出点D的坐标，是以AB为腰的等腰三角形。再分类讨论。当BD=BA时和当AD=AB时，建立方程求解，即可求出满足条件的点D的坐标。
（3）要求点p的坐标，点P是直线AP与抛物线的交点坐标，解决此题的关键就是要求出直线AP的函数解析式。因此设直线AP交y轴于E，作CF⊥AE于F，，求出点E的坐标即可。根据已知条件易得到 △ ABC是直角三角形，从而得到△ACO∽△ABC，由△APQ与△ABC相似，得出AC平分∠BAP。根据角平分线的性质，得到CF=CO，再证明△ECF∽△EAO，求出CE和AE的数量关系，根据勾股定理就可以求出CE的长，即可得到点E的坐标，即可求出直线AE的解析式，再求出两函数图像的交点坐标即可得出结果。
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．