Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．

（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2﹣4ax+1，

∴点C的坐标为（0，1）．

∵OB=3OC，

∴点B的坐标为（3，0）．

∴9a﹣12a+1=0，

∴ ．

∴ ．

（2）

解：如图，

过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N．

∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，

∴∠MPC=∠NPB．

在△PCM和△PBN中， ，

∴△PMC≌△PNB，

∴PM=PN．

设点P（a，a）．

∵PC2=PB2，

∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．

解得a=2．

∴P（2，2）

（3）

解：∵该抛物线对称轴为x=2，B（3，0），

∴A（1，0）．

∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），

∴PO= ，AC= ，AB=2．

∵∠CAB=135°，∠POB=45°，

在Rt△BOC中，tan∠OBC= ，

∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，

在Rt△OAC中，OC=OA，

∴∠OCA=45°，

∴∠ACB＜45°，

∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q只有在点O左侧时．

（i）当 时，∴ ，

∴OQ=4，

∴Q（﹣4，0）．

（ii）当 时，∴ ，

∴OQ=2，

∴Q（﹣2，0）．

当点Q在点A右侧时，

综上所述，点Q的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）．

【解析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出△PMC≌△PNB，再用PC2=PB2 ， 建立方程求解即可；（3）先判断出点Q只能在点O左侧，再分两种情况讨论计算即可．
【考点精析】利用二次函数的概念和二次函数的图象对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．