Question

【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GEGD．
（1）求证：∠ACF=∠ABD；
（2）连接EF，求证：EFCG=EGCB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CG2=GEGD，

∴ ．

又∵∠CGD=∠EGC，

∴△GCD∽△GEC．

∴∠GDC=∠GCE．

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠BDC．

∴∠ACF=∠ABD．

（2）证明：∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，

∴△BGF∽△CGE．

∴ ．

又∵∠FGE=∠BGC，

∴△FGE∽△BGC．

∴ ．

∴FECG=EGCB．

【解析】（1）先根据CG2=GEGD得出 ，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结论；（2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故 ．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．