Question

【题目】如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知经过B、C两点的直线的表达式为y＝－x＋3．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P(m，0)是线段OB上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于D，交抛物线于E，EF∥x轴，交直线BC于F，DG∥x轴，FG∥y轴，DG与FG交于点G．设四边形DEFG的面积为S，当m为何值时S最大，最大值是多少？
（3）在坐标平面内是否存在点Q，将△OAC绕点Q逆时针旋转90°，使得旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上．若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在y＝－x＋3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝3，

∴B（3，0），C（0，3）

∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B、C两点

∴

解得

∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3

（2）解：∵P（m，0），PD∥y轴交直线BC于D，交抛物线于E

∴D（m，－m＋3），E（m，－m2＋2m＋3）

∴DE＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－ )2＋

∴当m＝ 时，DE有最大值 ，

由题意可知四边形DEFG为矩形

∵OB＝OC＝3，

∴∠DBP＝∠BDP＝∠EDF＝∠EFD＝45°

∴DE＝EF∴四边形DEFG为正方形

∴S＝DE2

∴当m＝ 时，S有最大值 ；

（3）解：如图所示，

有两种情况：

①当点A′、C′落在抛物线上时

由O′A′＝OA＝1，O′C′＝OC＝3

设A′（a，－a2＋2a＋3），则C′（a－3，－a2＋2a＋4）

∴－a2＋2a＋4＝－(a－3)2＋2(a－3)＋3

解得a＝ ，∴A′（ ， ）

作QN⊥x轴于N，A′M⊥QN于M，连接QA、QA′

则∠AQA′＝90°，可证△QAN≌△A′QM

设Q（x，y），则QM＝AN＝x＋1

A′M＝QN＝y＝x＋1＋ ＝ －x

解得x＝ ，y＝

∴Q1（ ， ）

②当点O′、C′落在抛物线上时

则O′、C′两点关于抛物线的对称轴对称，易知抛物线的对称轴为直线x＝1，

由O′C′＝OC＝3，可知C′（－ ， ），

作QN⊥O′C′于N，CM⊥QN于M，连接QC、QC′

则∠CQC′＝90°，

可证△CQM≌△QC′N，

设Q（x，y），则QM＝C′N＝x＋

CM＝QN＝y－ ＝x＝3－(x＋ )－

解得x＝ ，y＝

∴Q2（ ， ）

综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）

【解析】（1） 根据直线BC的解析式求出点B、C的坐标，再将点B、C的坐标代入二次函数解析式求出b、c的值，即可得出抛物线的函数解析式。
（2）设点P的坐标为（m，0），根据PD∥y轴，点D和点E分别在直线BC上和抛物线上，因此可表示出点D、E的坐标，再求出DE与m的函数解析式，求出其顶点坐标，得出DE取最大值时m的值，再根据矩形的性质及点B、C的坐标，得出OB＝OC、DE＝EF，就可证明四边形DEFG为正方形，根据正方形的面积公式，求出s的最大值即可。
（3）此题分两种情况：①当点A′、C′落在抛物线上时，根据旋转的性质 得出O′A′＝OA＝1，O′C′＝OC＝3，设点A′，表示出C′的坐标，根据x=a－3时，y=－a2＋2a＋4，建立方程求解即可表示出Q1的坐标；②当点O′、C′落在抛物线上时，则O′、C′两点关于抛物线的对称轴对称，易知抛物线的对称轴为直线x＝1，得出C′的坐标，作QN⊥O′C′于N，CM⊥QN于M，连接QC、QC′，证明△CQM≌△QC′N，根据CM＝QN建立方程，从而得到Q2的坐标，得出结论即可。
【考点精析】利用二次函数的最值和旋转的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．