Question

【题目】如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上一点，∠EAB＝∠ADB.

（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，AF＝4，CF＝2，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接CD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°.

∴∠ADB+∠EDC ＝90°

∵∠BAC＝∠EDC， ∠EAB ＝∠ADB，

∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°,

∴EA是⊙O的切线；

（2）如图，连接BC

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°.

∴∠CBA＝∠ABC ＝90°.

∵B是EF的中点，

∴在Rt△EAF中，AB＝BF.

∴∠BAC＝∠AFE

∴△EAF∽△CBA.

∴ ，

∵AF＝4，CF＝2，

∴AC＝6，EF＝2AB.

∴ ，解得AB＝ ，

∴EF＝ .

∴AE＝

【解析】（1）连接CD，由AC是⊙O的直径，得出∠ADC=90°，由角的关系可求出∠EAC=90°，即可证出EA是⊙O的切线。
（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC=90°，由在Rt△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC=∠AFE，就可证出△EAF∽△CBA，得对应边成比例，求出AB、EF的长，然后利用勾股定理即可求出AE的长。