Question

【题目】如图，内接于半圆，是直径，过作直线，，是弧的中点，连接交于，过作于，交于．

（）求证：是半圆的切线．

（）作交的延长线于点，连接，试判断线段与线段的数量关系，并说明理由．

（）若，，试求的长．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）AE=CH；（3）1．

【解析】试题分析：（1）由AB是直径得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；

（2）连接AD，证明△ADE≌△CDH即可；

（3）由（2）可得出AE=CH，且DE=DH，可证得BE=BH，结合BC和AB的长可求出AE．

试题解析：解：（1）如图所示．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°．∵∠MAC=∠ABC，∴∠CAB+∠MAC=90°，即∠MAB=90°，∴MN是半圆的切线；

（2）AE=CH．理由如下：

连接AD．∵D是弧AC的中点，∴AD=CD，∠HBD=∠ABD．∵DE⊥AB，DH⊥BC，∴DE=DH，∠AED=∠DHC，在Rt△ADE和Rt△CDH中，∵AD=CD，DE=DH，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），∴AE=CH；

（3）由（2）知DH=DE，∠DHB=∠DEB=90°，在Rt△DBH和Rt△DBE中，∵DH=DE，BD=BD，∴Rt△DBH≌Rt△DBE（HL），∴BE=BH，∴BA﹣AE=BC+CH，且AE=CH，∴BA﹣AE=BC+AE，又∵AB=6，BC=4，∴6﹣AE=4+AE，∴AE=1．