Question

【题目】△ABC中,∠C=60°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE=α.

(1)如图①所示,如果点P在线段BA上,且α=30°，那么∠PEB+∠PDA=___；

(2)如图②所示，如果点P在线段BA上运动，

①依据题意补全图形；

②写出∠PEB+∠PDA的大小(用含α的式子表示)；并说明理由。

(3)如果点P在线段BA的延长线上运动,直接写出∠PEB与∠PDA之间的数量关系(用含α的式子表示).那么∠PEB与∠PDA之间的数量关系是___.

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）①见解析，②60°α；（3）60°+α或60°α或60°；

【解析】

（1）连接PC，由三角形的外角性质即可得出结论；

（2）①根据题意画出图形即可；

②由三角形的外角性质即可得出结论；

（3）分三种情况讨论，由三角形的外角性质即可得出结论．

;(1)∠PEB+∠PDA=90；理由如下；

连接PC，如图1所示

∵∠PEB是△PEC的外角，

∴∠PEB=∠3+∠4，

∵∠PDA是△PDC的外角

∴∠PDA=∠1+∠2,

∴∠PEB+∠PDA=∠1+∠2+∠3+∠4=∠C+∠DPE=60°+30°=90

故答案为：90°；

(2)①如图2所示；

②连接PC，如图3所示：

∵∠PEB是△PEC的外角，

∴∠PEB=∠3+∠4，

∵∠PDA是△PDC的外角,

∴∠PDA=∠1+∠2，

∴∠PEB+∠PDA=∠1+∠2+∠3+∠4=∠C+∠DPE=60°+α；

∴∠PEB+∠PDA=60°+α；

(3)分三种情况：

①如图4所示：

连接PC,

由三角形的外角性质得：

∠PEB=∠ACB+∠1+∠2+∠3，∠PDA=∠1+∠2

∴∠PEB∠PDA=∠ACB+∠3=60°+α；

②如图5所示：连接PC，

由三角形的外角性质得：

∠PEB=∠ACB+∠1+∠2,∠PDA=∠1+∠2+∠3

∴∠PEB∠PDA=∠ACB∠3=60°α；

③如图6所示：P、D. E在同一条直线上，连接PC，

由三角形的外角性质得：

∠PEB=∠ACB+∠1+∠2，∠PDA=∠1+∠2，

∴∠PEB∠PDA=∠ACB=60°；

综上所述：如果点P在线段BA的延长线上运动,

∠PEB与∠PDA之间的数量关系是60°+α或60°α或60°；

故答案为：60°+α或60°α或60°.