Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．

（1）求证：AE=AF；

（2）求证：CD=2BE+DE．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析

【解析】

试题分析：(1)、通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；(2)、如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．

试题解析：(1)、如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE， ∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，

∴∠EAB=∠FAC， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC=90°， ∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，

∵∠EDB=∠ADC， ∴∠EBA=∠ACF， ∴在△AEB与△AFC中，，

∴△AEB≌△AFC（ASA）， ∴AE=AF；

(2)、如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G． ∵AG⊥EC，BE⊥CE， ∴∠BED=∠AGD=90°，

∵点D是AB的中点， ∴BD=AD． ∴在△BED与△AGD中，， ∴△BED≌△AGD（AAS）， ∴ED=GD，BE=AG， ∵AE=AF ∴∠AEF=∠AFE=45° ∴∠FAG=45° ∴∠GAF=∠GFA， ∴GA=GF， ∴CF=BE=AG=GF， ∵CD=DG+GF+FC， ∴CD=DE+BE+BE， ∴CD=2BE+DE．