Question

【题目】如图1，把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF均为4．现将三角板EFG由图1所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，EG交AC于点K，GF交BC于点H．在旋转过程中，请你解决以下问题：

（1）求证：△CGH∽△AGK；
（2）连接HK，求证：KH∥EF；

（3）设AK=x，△CKH的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在Rt△ABC中，CG⊥AB，∠B=30°，

∴∠GCH=∠GAK=60°，

又∠CGH=∠AGK=α，

∴△CGH∽△AGK；

（2）

证明：由（1）得△CGH∽△AGK，

∴ ；

在Rt△ACG中，tanA= = ，

∴ ．

在Rt△KHG中，tan∠GKH= ，

∴∠GKH=60°．

∵Rt△EFG中，∠F=30°，

∴∠E=60°，

∴∠GKH=∠E，

∴KH∥EF；

（3）

解：由（1）得△CGH∽△AGK，

∴

由（2）知 ，

∴ ．

∴CH= AK= x，

在Rt△ABC中，∠B=30°，

∴AC= AB=2，

∴CK=AC﹣AK=2﹣x，

∴y= CKCH= （2﹣x） x=﹣ x2+ x，

又y═﹣ x2+ x=﹣ （x﹣1）2+ ，

∴当x=1时，y有最大值为 ．

【解析】（1）根据已知条件证明△AGK∽△CGH即可；（2）连接HK，由（1）可知在Rt△KHG中，tan∠GKH= ，所以∠GKH=60°，再根据三角形的内角和证明，∠E=∠EGF﹣∠F=90°﹣30°=60°，即可证得∠GKH=∠E=60°，利用同位角相等两线平行即可证明KH∥EF；（3）设AK=x，存在x=1，使△CKH的面积最大，由（1）得△AGK∽△CGH，所以CH= AK= x，根据三角形的面积公式表示出S△CHK= CKCH= （2﹣x） x，再把二次函数的解析式化为顶点式即可求出x的值．