Question

【题目】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD=BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB及CB延长线交于点F、M．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若点G为MF的中点，求证：BG是⊙O的切线；
（3）若AD=4，CM=9，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=∠ABC=90°．

在Rt△ADC和Rt△CBA中，AC=CA，AD=CB，

∴Rt△ADC≌Rt△CBA，

∴∠CAD=∠ACB，

∴AD∥BC，

又∵AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

又∵∠ABC=90°，

∴□ABCD是矩形．

（2）证明：连接OB．

在Rt△MBF中，G是MF的中点，

∴BG= MF=FG，

∴∠GBF=∠GFB=∠AFE．

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠OAB．

∵DG⊥AC，

∴∠AFE+∠OAB=90°，

∴∠GBF+∠OBA=90°，即OB⊥BG，

∴BG是⊙O的切线．

（3）解：由（1）得四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠DCM=90°．

又∵AC⊥DG，

∴∠CDM+∠ACD=90°，∠CDM+∠M=90°

∴∠ACD=∠M．

又∵∠ADC=∠DCM，

∴△ACD∽△DMC，

∴ ，

∴DC2=ADCM=36，

∴DC=6，

∴S矩形ABCD=ADCD=24．

【解析】（1）由直径所对的圆周角等于90°可知∠ADC=∠ABC=90°，然后利用HL可证明Rt△ADC≌Rt△CBA，依据全等三角形的性质得到∠CAD=∠ACB，然后令平行线的判定定理可得到AD∥BC，依据有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知ABCD是平行四边形，然后由∠ABC=90°，可证明四边形ABCD是矩形．（2）连接OB．依据直角三角形斜边上中线的性质可得到GF=GB，则∠GBF=∠GFB=∠AFE，由OA=OB，可证明∠OBA=∠OAB，由∠AFE+∠OAB=90°，可得到∠GBF+∠OBA=90°；（3）先证明△ACD∽△DMC，由相似三角形对应边成比例可求得DC=6，最后利用矩形的面积=长×宽求解即可．