Question

【题目】如图，已知，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点，连结OE，AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若BD=2OD，且PB=9，求⊙O的半径长和tan∠P的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∴∠COB=2∠CAB，

又∠POE=2∠CAB．

∴∠COD=∠EOD，

又∵OC=OE，

∴∠ODC=∠ODE=90°，

即CE⊥AB；

（2）证明：证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，

∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，

又∠OCD=∠E，

∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，

∴PC是⊙O的切线；

（3）解：设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，

∵CD⊥OP，OC⊥PC，

∴Rt△OCD∽Rt△OPC，

∴OC2=ODOP，即（3x）2=x（3x+9），

解之得x= ，

∴⊙O的半径r= ，

同理可得PC2=PDPO=（PB+BD）（PB+OB）=162，

∴PC=9 ，

在Rt△OCP中，tan∠P= = ．

【解析】（1）只要证明∠DOC=∠DOE，利用等腰三角形的三线合一即可证明；（2）欲证明PC是⊙O的切线，只要证明∠OCP=90°即可；（3）设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，易证得Rt△OCD∽Rt△OPC，根据相似三角形的性质得OC2=ODOP，即（3x）2=x（3x+9），解出x，即可得圆的半径；同理可得PC2=PDPO=（PB+BD）（PB+OB）=162，可计算出PC，然后在Rt△OCP中，根据正切的定义即可得到tan∠P的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的相关知识，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．