Question

【题目】如图已知直线直线和直线交于点C和D，在C、D之间有一点P.

(1)图中∠PAC、∠APB、∠PBD之间有什么关系，并说明理由；

(2)如果P点在C、D之间运动时，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系是否发生变化?

(3)若点P在直线上C、D两点的外侧运动时(点P与点C、D不重合)，试探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何？分别画出图形并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）∠APB=∠CAP+∠DBP；（2）不发生变化；（3）当P点在DC延长线上时：∠APB=∠DBP-∠CAP；当P点在CD延长线上时：∠APB=∠CAP-∠DBP

【解析】

（1）过点P作EP∥a,根据平行线的性质即可求解；

（2）根据平行线的性质可知不会发生变化；

（3）根据题意作出图形，根据平行线的性质即可求解.

（1）如图，过点P作EP∥a,

∵

∴EP∥a∥b,

∴∠CAP=∠1，∠DBP=∠2，

∵∠APB=∠1+∠2，

∴∠APB=∠CAP+∠DBP

（2）当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠CAP+∠DBP，不会发生变化；

（3）如图②，当P点在DC延长线上时：∠APB=∠DBP-∠CAP.

理由如下：

∵a∥b，∴∠PEC=∠PBD，

∵∠PEC=∠CAP +∠APB

∴∠PBD=∠CAP +∠APB

即∠APB=∠DBP-∠CAP.

如图③当P点在CD延长线上时：∠APB=∠CAP-∠DBP

理由如下：

∵a∥b，∴∠CAP =∠DEP，

∵∠DEP =∠DBP +∠APB

∴∠CAP =∠DBP +∠APB

即∠APB=∠CAP-∠DBP