Question

【题目】已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为 上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，联结AE．

（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；
（2）当扇形的半径长为5，且AC=6时，求线段DE的长；
（3）联结BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=EC，AC=CD，OC=CE，∠AOD=90°

∴AC=OC=OA，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠OAD=60°，

∴∠ADO=90°﹣∠OAD=30°．

（2）解：如图2中，作OH⊥AD于H．

∵OA=OC，OH⊥AC，

∴AH=HC=3，

∵∠OAH=∠OAD，∠AHO=∠AOD，

∴△AOH∽△ADO，

∴ = ，

∴ = ，

∴AD= ，

∴CD=AD﹣AC= ，

∵DE⊥OD，

∴∠EDO=90°，

∴∠AOD+∠EDO=180°，

∴DE∥OA，

∴ = ，

∴ = ，

∴DE= ．

（3）解：如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°．

理由：连接AB、BC．

∵∠BCD=∠BAC+∠ABC，

又∵∠BAC= ∠BOC，∠ABC= ∠AOC，

∴∠BCD= ∠BOC+ ∠AOC= （∠BCO+∠AOC）= ×90°=45°．

【解析】（1）利用矩形的性质，只要证明△OAC是等边三角形即可求解题中问题；（2）作OH⊥AD于H．由△AOH∽△ADO，推出=,可得AD的长度，CD=AD﹣AC的长度，由DE∥OA，可得=,即可求出DE；（3）结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°．连接AB、BC．由∠BCD=∠BAC+∠ABC，又∠BAC= ∠BOC，∠ABC= ∠AOC，即可得出结论。
【考点精析】掌握矩形的性质和平行线分线段成比例是解答本题的根本，需要知道矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．