Question

【题目】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，且CD=2，点E是线段BD上任意一点，以CE为边向左侧作正方形CEFG，EF交BC于点M，连接BG交EF于点N．

（1）证明：△CAE≌△CBG；
（2）设DE=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值；
（3）当DE=2 ﹣2时，求∠BFE的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形EFGC是正方形，

∴CG=CE，∠GCE=∠GFE=∠FEC=90°，

∵∠ACB=∠GCE=90°，

∴∠GCB=∠ECA，

∵GC=CE，CB=CA，

∴△CAE≌△CBG．

（2）解：∵CB=CA，CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴CD=BD=AD=2，∠CBA=∠A=45°，

∵△CAE≌△CBG，

∴∠CBG=∠A=45°，

∴∠GBA=∠GBC+∠CBA=90°，

∵∠BEN+∠BNE=90°，∠BEN+∠CED=90°，

∴∠BNE=∠CED，∵∠EBN=∠CDE=90°，

∴△NBE∽△EDC，

∴ = ，

∴ = ，

∴y=﹣ （x﹣1）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴x=1时，y的最大值为 ．

（3）解：在CD上取一点K，使得DE=DK=2 ﹣2，

∴EK=4﹣2 ，

∵CK=CD﹣DK=2﹣（2 ﹣2）=4﹣2 ，

∴KC=EK，

∵∠EKD=∠KED=45°，

∴∠KEC=∠KCE=22.5°，

∴∠CED=67.5°，

∴∠FEB=90°﹣67.5°=22.5°，

∵BE=BD﹣DE=4﹣2 =EK，CE=EF，∠BEF=∠ECK，

∴△BEF≌△KEC，

∴∠EFB=∠ECK=22.5°．

【解析】（1）根据SAS证明即可；（2）只要证明△NBE∽△EDC，可得，可得，由此即可解决问题；（3）在CD上取一点K，使得DE=DK=，首先证明KC=EK，再证明△BEF≌△KEC即可解决问题,
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．