Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线MN过点B，且∠MBC=∠BAC．半径OD⊥BC，垂足为H，AD交BC于点G，DE⊥AB于点E，交BC于点F．

（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DE= BC；
（3）若tan∠CAG= ，DG=4，求点F到直线AD的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是直径，

∴∠BCA=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∵∠MBC=∠BAC，

∴∠MBC+∠ABC=90°，

∴∠ABM=90°，

即AB⊥MN，

∴MN是⊙O的切线．

（2）证明：∵OD⊥BC，

∴BH=CH，

在△ODE和△OBG中，

，

∴△ODE≌△OBG，

∴DE=BH= BC．

（3）解：作FJ⊥DG于J．

易证∠CAH=∠HDG=∠GFJ

∴tan∠GFJ= = ，设GJ=x，则FG=2x，FG= x，

∵∠EDA+∠EAD=90°，∠CHA+∠CAH=90°，∠EAD=∠ACH，

∴∠EDA=∠CHA=∠DHF，

∴DF=FG= x，

在Rt△DFJ中，∵DF2=DJ2+FJ2，

∴5x2=4x2+（4﹣x）2，

解得x=2，

∴FJ=4，

∴点F到直线AD的距离为4．

【解析】（1）要证明MN是⊙O的切线，只要证明AB⊥MN即可；（2）由△ODE≌△OBG，推出DE=BH，再根据垂径定理即可证明；（3）作FJ⊥DG于J，由tan∠GFJ=，设GJ=x，则FG=2x，FG=x，再证明DF=FG，在Rt△DFJ中，根据勾股定理列出方程解之即可.
【考点精析】通过灵活运用垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可以解答此题．