Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2， ），顶点坐标为N（﹣1， ），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由抛物线顶点坐标为N（﹣1， ），可设其解析式为y=a（x+1）2+ ，

将M（﹣2， ）代入，得 =a（﹣2+1）2+ ，

解得a=﹣ ，

故所求抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+

（2）

解：∵y=﹣ x2﹣ x+ ，

∴x=0时，y= ，

∴C（0， ）．

y=0时，﹣ x2﹣ x+ =0，

解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC= =2 ．

设P（﹣1，m），

当CP=CB时，有CP= =2 ，解得m= ± ；

当BP=BC时，有BP= =2 ，解得m=±2 ；

当PB=PC时， = ，解得m=0，

综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1， + ），（﹣1， ﹣ ），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2 ），（﹣1，0）

（3）

解：由（2）知BC=2 ，AC=2，AB=4，

所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．

连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，

∵B、B′关于直线AC对称，

∴QB=QB′，

∴QB+QM=QB′+QM=MB′，

所以此时△QBM的周长最小．

由B（﹣3，0），C（0， ），易得B′（3，2 ）．

设直线MB′的解析式为y=kx+n，

将M（﹣2， ），B′（3，2 ）代入，

得 ，解得 ，

即直线MB′的解析式为y= x+ ．

同理可求得直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．

由 ，解得 ，即Q（﹣ ， ）．

所以在直线AC上存在一点Q（﹣ ， ），使△QBM的周长最小．

【解析】（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1， ），可设其解析式为y=a（x+1）2+ ，再将M（﹣2， ）代入，得 =a（﹣2+1）2+ ，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；（2）先求出抛物线y=﹣ x2﹣ x+ 与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根据勾股定理得到BC= =2 ．设P（﹣1，m），当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣3，0），C（0， ），根据中点坐标公式求出B′（3，2 ），再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为y= x+ ，直线AC的解析式为y=﹣ x+ ，然后解方程组 ，即可求出Q点的坐标．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．