【题目】如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．

参考答案：

【答案】
（1）

证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE，DC=EA，

在△ADE与△CED中，

∴△DEC≌△EDA（SSS）


（2）

解：如图1，

∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE，

∴∠ACD=∠CAE，

∴AF=CF，

设DF=x，则AF=CF=4﹣x，

在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，

即32+x2=（4﹣x）2，

解得：x= ，

即DF=


（3）

解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQ∥CA

∴

又∵CE=3，AC= =5

设PE=x（0＜x＜3），则 ，即PQ=

过E作EG⊥AC于G，则PN∥EG，

∴

又∵在Rt△AEC中，EGAC=AECE，解得EG= ，

∴ = ，即PN= （3﹣x），

设矩形PQMN的面积为S，

则S=PQPN=﹣ x2+4x=﹣ +3（0＜x＜3）

所以当x= ，即PE= 时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．


【解析】（1）由矩形和翻折的性质可知AD=CE，DC=EA，根据“SSS”可求得△DEC≌△EDA；（2）根据勾股定理即可求得．（3）由矩形PQMN的性质得PQ∥CA，所以 ，从而求得PQ，由PN∥EG，得出 ，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．

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