Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足 ，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若tan∠CBA= ，AE=3，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA，

∵ ，

∴∠BAC=∠EAC，

∴∠EAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵DE切⊙O于点C，

∴OC⊥DE，

∴AE⊥DE

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴△ABC是直角三角形，

∵tan∠CBA= ，

∴∠CBA=60°，

∴∠BAC=∠EAC=30°，

∵△AEC为直角三角形，AE=3，

∴AC=2 ，

连接OF，

∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，

∴△OAF为等边三角形，

∴AF=OA= AB，

在Rt△ACB中，AC=2 ，tan∠CBA= ，

∴BC=2，

∴AB=4，

∴AF=2

【解析】（1）首先连接OC，由OC=OA， ，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA= ，在△ACB中，利用已知条件求得答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)．