Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣ x2+ x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣ x2+ x+2的图象相交于点D，E．

（1）写出点A，点B的坐标；
（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当y=0时，有 ，

解得：x1=4，x2=﹣1，

∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（﹣1，0）．

（2）

解：∵⊙Q与x轴相切，且与 交于D、E两点，

∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，

∵抛物线的对称轴为 ，⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0），

∴D、E两点的坐标分别为：（ ﹣m，m），（ +m，m）

∵E点在二次函数 的图象上，

∴ ，

解得 或 （不合题意，舍去）．

（3）

解：存在．

①如图1，

当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥y轴于G，

∴∠AOC=∠CGF=90°，

∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，

∴∠ACO=∠CFG，

∴△ACO≌△CFG，

∴CG=AO=4，

∵CO=2，

∴m=OG=2+4=6；

反向延长FC，使得CF=CF′，此时△ACF′亦为等腰直角三角形，

易得yC﹣yF′=CG=4，

∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2．

②如图2，

当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥x轴于P，

∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，

∴∠ACO=∠FAP，

∴△ACO≌△∠FAP，

∴FP=AO=4，

∴m=FP=4；

反向延长FA，使得AF=AF′，此时△ACF’亦为等腰直角三角形，

易得yA﹣yF′=FP=4，

∴m=0﹣4=﹣4．

③如图3，

当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，

分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．

∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，

∴∠DFC=∠EFA，

∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，

∴△CDF≌△AEF，

∴CD=AE，DF=EF，

∴四边形OEFD为正方形，

∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD，

∴4=2+2CD，

∴CD=1，

∴m=OC+CD=2+1=3．

∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，

∴∠HF′C=∠GF′A，

∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，

∴△HF′C≌△GF′A，

∴HF′=GF′，CH=AG，

∴四边形OHF′G为正方形，

∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2，

∴OH=1，

∴m=﹣1．

∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴y的最大值为 ．

∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜ ．

∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3．

综上所述，直线l上存一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3．

【解析】（1）A、B两点的纵坐标都为0，所以代入y=0，求解即可．（2）由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，则Q的横坐标为 ，可推出D、E两点的坐标分别为：（ ﹣m，m），（ +m，m）．因为D、E都在抛物线上，代入一点即可得m．（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识易得m的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．