Question

【题目】已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE=CF；

（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证： = ；

（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B=∠EGF时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC，

∴∠ADE+∠AED=90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，

∴∠AED=∠CFD，

∴△ADE≌△DCF，

∴DE=CF

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，∠DCF+∠CFD=90°，

∴∠ADE=∠DCF，

∴△ADE∽△DCF，

∴ =

（3）解：当∠B=∠EGF时， = 成立，

证明：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，

则∠CMF=∠CFM，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠CDM，

∵AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°，

∵∠B=∠EGF，

∴∠EGF+∠A=180°，

∴∠AED=∠CFM=∠CMF，

∴△ADE∽△DCM，

∴ = ，即 =

【解析】（1）依据正方形的性质可得到∠A=∠ADC=90°，AD=DC，然后再依据同角的余角相等可证明∠AED=∠CFD，最后，在依据AAS证明△ADE≌△DCF，最后，利用全等三角形对应边相等进行证明即可；
（2）依据矩形的性质可得到∠A=∠ADC=90°，然后再依据同角的余角相等可证明∠ADE=∠DCF，接下来，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形DCF相似，最后，利用相似三角形对应边成比例进行证明即可；
（3）在AD的延长线上取点M，使CM=CF，先证明△ADE∽△DCM，然后再利用相似三角形对应边成比例进行证明即可．
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．