Question

【题目】如图所示，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，过C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过C作CE⊥BD于点E．、

（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=4，求⊙O的半径r．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC、OB，如图，

∵MN是⊙O的切线，

∴OB⊥MN，

∴∠OBE=90°，

∵CE⊥MN，

∴∠CEB=90°，

∵∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，

∴四边形OBEC为矩形，

∴∠OCE=90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线

（2）解：∵OB=OC，

∴四边形OBEC为正方形，

∴BE=CE=OB=r，

∴DE=BD﹣BE=4﹣r，

在Rt△CED中，∵tanD= =tan30°，

∴ = ，

∴r=2 ﹣2

【解析】（1）连接OC、OB，依据切线的性质可得到∠OBE=90°，然后，再由圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC=90°，接下来，再证明四边形OBEC为矩形，根据矩形的性质可得到∠OCE=90°，最后，根据切线的判定定理进行判断即可；
（2）先证明四边形OBEC为正方形，然后再依据正方形的性质得到BE=CE=OB=r，然后在Rt△CED中利用正切的定义得到=，然后再解关于r的方程即可.