Question

【题目】如图，矩形中，，，、分别是、上的点，且，连结、．点是线段上的点，过点作交于点，设AP=x．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）用含的代数式表示的长；

（3）连结，当为何值时．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据直角三角形的性质和勾股定理求出CA、AB的长，根据菱形的判定定理证明即可；

（2）根据相似三角形的判定定理证明△APH∽△AEC，根据相似三角形的性质得到，计算求出AH；

（3）作HG⊥AB于G，根据锐角三角函数的定义求出AG、HG，根据勾股定理表示出HE，根据题意列出方程，解方程即可

解：（1）四边形AECF是菱形．

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=90°，又，∠CAB=30°，

∴CA=2BC=，AB=6，

∵BE=2，

∴AE=AB-BE=4，

∵CF∥AE，CF=AE=4，

∴四边形AECF是平行四边形，又EA=EC=4，

∴四边形AECF是菱形；

（2）∵PH∥CE，

∴△APH∽△AEC，

∴，即，

解得，AH=；

（3）

作HG⊥AB于G，

∵AH=，∠CAB=30°，

∴HG=，AG=，

∴GE=AE-AG=4-x，

由勾股定理得，HE=，

当AH=HE时，，

解得，x=，

则当x=时，AH=HE成立．