Question

【题目】综合题。
（1）如图1，已知AD=BC，AC=BD．求证：△ADB≌△BCA．
（2）如图2，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至点C，使AC=3BC，CD与⊙O相切于点D，若CD= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△ADB与△BCA中，

∴△ADB≌△BCA（SSS）

（2）解：连接OD，

∵CD与⊙O相切，

∴OD⊥CD，

∴∠ODC=90°，

∵AC=3BC，AB=2OB，

∴OB=BC，

∴OB= OC

又OB=OD，

∴OD= OC

在Rt△ODC，

cos∠DOC= = ，

∴∠DOC=60°，

∴∠AOD=120°

在Rt△POC中，

由勾股定理可知：OD2+DC2=OC2，

∵CD= ，

∴OD2+3=4OD2，

∴OD=1

【解析】（1）根据全等三角形的判定即求证；（2）连接OD，利用AC=3BC可知OB= OC，在Rt△ODC中，cos∠DOC= = ，从而可知∠DOC=60°，∠AOD=120°，在Rt△POC中，利用勾股定理即可求出OD的长度．