【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO ， 求点D的坐标．
（3）若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标．

参考答案：

【答案】
（1）

解：∵tan∠ABO= ，

∴ = ，且OB=4，

∴OA=2，

∵CE⊥x轴，即CE∥AO，

∴△AOB∽△CEB，

∴ = ，即 = ，解得CE=3，

∴C（﹣2，3），

∴m=﹣2×3=﹣6，

∴反比例函数解析式为y=﹣


（2）

解：设D（x，﹣ ），

∵D在第四象限，

∴DF=x，OF= ，

∴S△DFO= DFOF= x× =3，

由（1）可知OA=2，

∴AF=x+ ，

∴S△BAF= AFOB= （x+ ）×4=2（x+ ），

∵S△BAF=4S△DFO，

∴2（x+ ）=4×3，解得x=3+ 或x=3﹣ ，

当x=3+ 时，﹣ 的值为3﹣ ，

当x=3﹣ 时，﹣ 的值为3+ ，

∵D在第四象限，

∴x=3﹣ 不合题意，舍去，

∴D（3+ ，3﹣ ）


（3）

解：∵D在第四象限，

∴在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，即当B、C、D三点共线时，其差最大，

设直线AB解析式为y=kx+b，

由题意可得 ，解得 ，

∴直线AB解析式为y=﹣ x+2，

联立直线AB和反比例函数解析式可得 ，解得 或 （舍去），

∴D（6，﹣1），

即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，﹣1）


【解析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；（3）在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解反比例函数的性质的相关知识，掌握性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大，以及对三角形三边关系的理解，了解三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边；不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边．

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