Question

【题目】等边三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且AD＝BE，AE、CD相交于点P，CF⊥AE．

（1）求∠CPE的度数；

（2）求证：PF＝PC．

Answer 1

【答案】（1）∠CPE=60°；（2）见详解．

【解析】

（1）先根据已知条件判定出△BEA≌△CAD，得到CD=AE，再结合已知可证△CDB≌△ACE，由此可得∠AEC十∠CPE+∠PCE=∠BDC+∠PCE+∠B，即可知∠B=∠CPE=60°；

（2）由CF⊥AE，∠CPE=60°，可得△CPF是含30°角的直角三角形，即可证明．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠B，

又∵AD=BE，

∴△BEA≌△CAD，BD=CE，

∴CD=AE，

又∵∠ACB=∠B，

∴△CDB≌△ACE，

∴∠BDC=∠AEC，

∴∠AEC十∠CPE+∠PCE=∠BDC+∠PCE+∠B，

∴∠B=∠CPE=60°；

（2）∵CF⊥AE，∠CPE=60°，

∴∠FCP=30°，

∴PF＝PC．