Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，-4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．

（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；

（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，点F在射线AE上，若△ADF∽△ABC，求点F 的坐标．

Answer 1

【答案】（1），D（1，-3）；（2）；（3）或．

【解析】分析：（1）设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),将C（0，-4）代入求解即可；记抛物线的对称轴与x轴交点坐标为F，先求得抛物线的对称轴，则可得到FB的长，然后再证明△BFD为等腰直角三角形，从而可得到FD=FB=3，故此可得到点D的坐标；（2）过点E作EH⊥AB，垂为H．先证tan∠EAH=tan∠ACO=,设EH=t,则AH=2t,从而可得到E（-2+2t,t）,最后，将点E的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（3）记AE与抛物线的对称轴的交点为F，记对称轴与x轴的交点为G．由相似三角形的性质可得到∠ADF=∠ABC=45°，然后再证明∠ADF=45°，然后证明△AFG∽△AEH，最后，依据相似三角形的性质可求得FG的．

本题解析：解：设抛物线的解析式为y=a（x+2）(x-4），C（0，-4）代入得：-8a= -4，解：a=，∴抛物线的解析式为y=x-x-4.

如下图所示：记抛物线的对称轴与x轴交点坐标为F.

∵抛物线的对称轴为x==1, ∴BF=OB-OF=3, ∵BO=OC=4, ∠BOC=90°, ∴∠OBC=45. ∴△BFD为等腰直角三角形，∴FD=FB=3，∴D(1，-3)

(2)如下图：过点E作EH⊥AB，垂为H，

∵∠EAB+∠BAC=90°, ∠BAC+∠ACO=90°, ∴∠EAH=∠ACO, ∴tan∠EAH=tan∠ACO=,设EH=t,则AH=2t, ∴点E的坐标为（-2+2t,t）,将（-2+2t,t）代入抛物线的解析式为： (-2+2t)-(-2+2t)-4=t,解得：t=或t=0(舍去)，

∴E（5， ）.

(3)如下图所示：

∵△ADF∽△ABC, ∴∠ADF=∠ABC=45°,由（2）知∠BDF=45°, ∵点A与点B关于DF对称，∴∠ADF=∠ABC, ∴点F在抛物线的对称轴上，∵FG∥EH, ∴△AFG∽△AEH. ∴,即,解得：FG=,∴F(1， ).