【题目】已知AB=5，AD=4，AD∥BM， （如图），点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x， ．

（1）如图1，当x=4时，求AF的长；

（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．

参考答案：

【答案】（1）；（2）；（3）或或．

【解析】分析：作AH⊥BC于H，如图1，利用余弦的定义和勾股定理计算出BH=3，AH=4，AC=，再判断四边形ABCD为平行四边形得到∠B=∠D，接下来证明△ADF∽△ABC，然后利用相似比计算出AC；（2）如图2，先证明△BAC∽△BEA,利用相似比得到BE=,AC= ,则CE= ，再证明△ADF∽EFC,利用相似比得到AF= ,然后计算AF·AC可得到y与x的关系式，最后利用CE= >0可确定x的范围;(3)讨论：当PA=PD时，作AH⊥BM于H，作PG⊥AD于G交BE于N，如图3，利用等腰三角形性质得AG=GD=2，BN=EN=BE= ，则=5，解方程易得x的值；当AP=AD=4时，先判断BP=EP=，则AE=4+,然后在RT△AHE中利用勾股定理得，则解方程可得到x的值；当DP=DA=4时，作AH⊥BM于H,作DK⊥BE于K,如图4，先确定BP=EB=,则BD=4+,再利用勾股定理计算出BD=,则4+=，然后解方程可得到x的值.

本题解析：（1）作A⊥BC于H如图，

在RT△ABH中，∵cosB=,

∴BH=,∴CH=1,AH=,在RT△ACH中，AC=,
∵AD∥BC，AD=BC=4，∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D, ∵∠DAF=∠BAC, ∴△ADF∽△ABC, ∴,即,∴AF=.

(2)如图，

∵AD∥BE, ∴∠DAE=∠AEB,而∠DAE=∠BAC, ∴∠ABC=∠EBA, ∴△BAC∽△BEA, ∴,即,∴BE=,AC= ,∴CE=BE-BC=-x, ∵AD∥CE, ∴△ADF∽△EFC, ∴ , ∴ ,即AF= , ∴ ，即y=;

(3)当PA=PD时，作作AH⊥BM于H，作PG⊥AD于G交BE于N，如图，

∵AD∥BE, ∴GN⊥BE, ∴AG=DG=2，BN=EN=BE=,而BN=BH+CN=3+2=5,

∴=5,解得x=;当AP=AD=4时，∵AD∥BE, ∴BP=EP=,
在Rt△AHE中， ,∴，解得x= ;

当DP=DA=4时，作AH⊥BM于H,作DK⊥BE于K，如图4，∵AD∥BE, ∴BP=EP=,

∴BD=4+,在RT△BDK中，BD=,∴4+=,∴x= ,综上所述，x的值为或或.

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