Question

【题目】如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC．

（1）若∠DBC=35°，则∠A的度数为________；

（2）若∠DBC=α，求∠A的度数（用含α的代数式表示）；

（3）已知120°<∠ABC<180°，若点F在线段AE上，连接BF，当△BFD为直角三角形时，求∠A与∠FBE的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）∠A=180°-4α；（3）∠A=4∠FBE-180°或∠A=2∠FBE．

【解析】

（1）根据角平分线的定义分别求出∠EBC和∠ABC，然后利用平行线的性质求∠A即可；

（2）根据角平分线的定义分别表示出∠EBC和∠ABC，然后利用平行线的性质求∠A即可；

（3）分两种情况讨论：①当∠FBD=90°时，②当∠BFD=90°时，分别用∠FBE表示出∠A即可．

解：（1）因为BD平分∠EBC，∠DBC=35°，

所以∠EBC=2∠DBC=70°，

因为BE平分∠ABC，

所以∠ABC=2∠EBC =140°，

因为AD∥BC，

所以∠A+∠ABC=180°．

所以∠A=40°；

（2）因为BD平分∠EBC，∠DBC=α，

所以∠EBC=2∠DBC=2α．

因为BE平分∠ABC，

所以∠ABC=4α，

因为AD∥BC，

所以∠A+∠ABC=180°，

所以∠A=180°－4α；

（3）设∠DBC=α，由（2）可知：∠A=180°－4α，∠EBC=2α，

①当∠FBD=90°时，∠FBE+∠EBD=90°，

所以∠FBE=90°－∠EBD=90°－α，

所以α=90°－∠FBE，

所以∠A=180°－4（90°－∠FBE）=4∠FBE－180°；

②当∠BFD=90°时，

因为AD∥BC，

所以∠FBC=180°－∠BFD=90°，∠FBE+∠EBC=90°，

所以∠FBE=90°－∠EBC=90°－2α，

所以2α=90°－∠FBE，

所以∠A=180°－2（90°－∠FBE）=2∠FBE，

综上所述：∠A=4∠FBE－180°或∠A=2∠FBE．