Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣ x+3 与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，且交抛物线于点D，连接AD，交y轴于点E，连接AC．

（1）求S△ABD的值；
（2）如图2，若点P是直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PF∥y轴交直线AD于点F，作PG∥AC交直线AD于点G，当△PGF的周长最大时，在线段DE上取一点Q，当PQ+ QE的值最小时，求此时PQ+ QE的值；
（3）如图3，M是BC的中点，以CM为斜边作直角△CMN，使CN∥x轴，MN∥y轴，将△CMN沿射线CB平移，记平移后的三角形为△C′M′N′，当点N′落在x轴上即停止运动，将此时的△C′M′N′绕点C′逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线M′N′与直线CA交于点S，与y轴交于点T，与x轴交于点W，请问△CST是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的WN′的长度；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，则2 x2﹣33x+36 =0，

解得x= 或4 ．

∴A（ ，0），B（4 ，0），C（0，3 ），

∵CD∥AB，

∴S△DAB=S△ABC= ABOC= × × = ．

（2）解：如图2中，设P（m， m2﹣ m+3 ）．

∵A（ ，0），D（ ，3 ），

∴直线AD的解析式为y= x﹣ ，

∵PF∥y轴，

∴F（m， m﹣ ），

∵PG⊥DE，

∴△PGF的形状是相似的，

∴PF的值最大时，△PFG的周长最大，

∵PF= m﹣ ﹣（ m2﹣ m+3 ）=﹣ m2+ m﹣ ，

∴当m=﹣ = 时，PF的值最大，此时P（ ，﹣ ），

作P关于直线DE的对称点P′，连接P′Q，PQ，作EN∥x轴，QM⊥EN于M，

∵△QEM∽△EAO，

∴ = = ，

∴QM= QE，

∴PQ+ EQ=PQ+QM=P′Q+QM，

∴当P′、Q、M共线时，PQ+ EQ的值最小，

易知直线PP′的解析式为y=﹣ x+ ，

由 ，可得G（ ， ），

∵PG=GP′，

∴P′（ ， ），

∴P′M= + = ，

∴PQ+ EQ的最小值为 ．

（3）解：①如图3中，当CS=CT时，作CK平分∠OCA，作KG⊥AC于G．

易知KO=KG，

∵ = = = = ，

∴OK= =3 ﹣6 ，

易证∠BWN′=∠OCK，

∴tan∠BWN′=tan∠OCK= = ，

∵BN′=2 ，

∴WN′=2 +4 ．

②如图4中，当TC=TS时，

易证∠BWN′=∠OAC，

∴tan∠BWN′=tan∠OAC= = ，

∴WN′= ，

③如图5中，当TS=TC时，延长N′B交直线AC于Q，作BG⊥AQ于G，QR⊥AB于R．

∵TS=TC，

∴∠TSC=∠TCS=∠ACO，

∵∠TSC+∠SQN′=90°，∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠BQA=∠OAC=∠BAQ，

∴BA=BQ，

∴AG=GQ，设AQ=a，则易知BG=a，BQ=AB= a，

∵ AQBG= ABQR，

∴QR= a，BR= a，

∴tan∠WBN′=tan∠QBR= = ，

∴WN′= ．

④如图6中，当CS=CT时，

由①可知，在Rt△BN′W中，tan∠N′BW= = ，

∴N′W=2 ﹣4 ．

综上所述，满足条件的WN′的长为2 +4 或 或 或2 ﹣4 ．

【解析】（1）令y=0，代入抛物线的解析式，求出A,B,C的坐标，由CD∥AB，推出S△DAB=S△ABC，由此即可解决问题；
（2）首先说明PF的值最大时，△PFG的周长最大，然后说明当当m=- = 时,PF的值最大，此时P（，），作P关于直线DE的对称点P′，连接P′Q，PQ，作EN∥x轴，QM⊥EN于M，由△QEM∽△EAO对应边成比例推出QM= QE，推出PQ+ EQ=PQ+QM=P′Q+QM，推出P,Q,M三点共线时，PQ+ EQ的值最小，易知直线PP′的解析式，联系直线AD的解析式与直线PP′的解析式求出G点的坐标，进而找到P′的坐标，得到P′M的长度即可；
（3）分两种情况讨论：①如图3中，当CS=CT时，作CK平分∠OCA，作KG⊥AC于G，由tan∠BWN′=tan∠OCK构建方程即可解决问题，②如图4中，当TC=TS时，由tan∠BWN′=tan∠OAC构建方程即可解决问题。
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和旋转的性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能正确解答此题．