Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、p满足．

（1）求直线AP的解析式；

（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；

（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣3x﹣3；（2）S（，﹣）， y=﹣3x+2；（3）②；定值为．

【解析】

（1）根据非负数的性质列式求出a、p的值，从而得到点A、P的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式；

（2）根据关于y轴的点的对称求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线AQ的解析式，设出点S的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标，再利用待定系数法求解直线RS的解析式；

（3）根据点B的横坐标为-2，可知点P为AB的中点，然后求出点B得到坐标，连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，利用角角边证明△APO与△PCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AO，CG=PO，再根据△DCE是等腰直角三角形，利用角角边证明△CDG与△EDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=EF，然后用EF表示出DP的长度，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值．

（1）根据题意得，a+3=0，p+1=0，

解得a=﹣3，p=﹣1，

∴点A、P的坐标分别为A（0，﹣3）、P（﹣1，0），

设直线AP的解析式为y=mx+n，

则，

解得，

∴直线AP的解析式为y=﹣3x﹣3；

（2）根据题意，点Q的坐标为（1，0），

设直线AQ的解析式为y=kx+c，

则，

解得，

∴直线AQ的解析式为y=3x﹣3，

设点S的坐标为（x，3x﹣3），

则SR=，

SA=，

∵SR=SA，

∴=，

解得x=，

∴3x﹣3=3×﹣3=﹣，

∴点S的坐标为S（，﹣），

设直线RS的解析式为y=ex+f，

则，

解得，

∴直线RS的解析式为y=﹣3x+2；

（3）∵点B（﹣2，b），

∴点P为AB的中点，

连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴PC=PA=AB，PC⊥AP，

∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°，

∴∠CPG=∠PAO，

在△APO与△PCG中，

，

∴△APO≌△PCG（AAS），

∴PG=AO=3，CG=PO，

∵△DCE是等腰直角三角形，

∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°，

又∵EF⊥x轴，

∴∠DEF+∠EDF=90°，

∴∠CDG=∠DEF，

在△CDG与△EDF中，

，

∴△CDG≌△EDF（AAS），

∴DG=EF，

∴DP=PG﹣DG=3﹣EF，

①2DP+EF=2（3﹣EF）+EF=6﹣EF，

∴2DP+EF的值随点D的变化而变化，不是定值，

②，

的值与点D的变化无关，是定值．