Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．

（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：GF=GC．

理由如下：连接GE，

∵E是BC的中点，

∴BE=EC，

∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE=EF，

∴EF=EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C=90°，

∴∠EFG=90°，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），

∴GF=GC；

（2）解：设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，

在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，

解得x= ．

【解析】（1） GF=GC，理由如下：连接GE， 由中点定义折叠的性质得出EF=EC，由矩形的性质得出∠C=90°，∠EFG=90°，从而利用HL证出Rt△GFE≌Rt△GCE，根据全等三角形对应边相等得出结论；
（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中根据勾股定理列出方程求解即可。