Question

【题目】我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d．
（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：
A（﹣1，0）的距离跨度；
B（ ，﹣ ）的距离跨度；
C（﹣3，2）的距离跨度；
②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 ．

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OA：y= x（x≥0），圆C是以3为半径的圆，且圆心C在x轴上运动，若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，直接写出圆心C的横坐标xc的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）1；3；2；圆
（2）解：设直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m+1）），

∴OP= ，

由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，

∵图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，到G2的距离跨度为2的点，

∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4，

∴点P在图形G2⊙C内部，

∴R=2OP=2 ，

∵直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P，

∴2 =2，

∴（k2+1）m2+2（k2﹣1）m+k2=0①，

∵存在点P，

∴方程①有实数根，

∴△=4（k2﹣1）2﹣4×（k2+1）k2=﹣9k2+4≥0，

∴﹣

（3）解：同（2）的方法得出，射线OA上存在点P到圆C的距离跨度为2时，点P在圆内，

设点P（n， n），（n＞0），

∵圆心C（x2，0），∴PC= = ×2=1，

∴ n2﹣2x2n+x22﹣1=0，

∴射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，

∴ ，

∴1≤x2≤2

【解析】解：（1）如图1，

①∵图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，∴直径为4，
∵A（﹣1，0），OA=1，
∴点A到⊙O的最小距离d=MA=OM﹣OA=1，
点A到⊙O的最大距离D=AN=ON+OM=2+1=3，
∴点A到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2；
∵B（ ，﹣ ），∴OB= =1，
∴点B到⊙O的最小距离d=BG=OG﹣OB=1，
点B到⊙O的最大距离D=BF=FO+OB=2+1=3，
∴点B到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2；
∵C（﹣3，2），
∴OC= = ，
∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC﹣OD= ﹣2，
点C到⊙O的最大距离D=CE=OC+OE=2+
∴点C到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+ ﹣（ ﹣2）=4；
∴圆，
理由：①设⊙O内一点P的坐标为（x，y），
∴OP= ，
∴点P到⊙O的最小距离d=2﹣OP，点P到⊙O的最大距离D=2+OP，
∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+OP﹣（2﹣OP）=2OP；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴2OP=2，
∴OP=1，
∴ =1，
∴x2+y2=1，
即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
②设⊙O外一点Q的坐标为（x，y），
∴OQ= ，
∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ﹣2，点P到⊙O的最大距离D=OQ+2，
∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=OQ+2﹣（OQ﹣2）=4；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴此种情况不存在，
所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
故答案为：圆；
（1）①先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D，即可得出跨度；②分点在圆内和圆外两种情况同①的方法计算，判定得出结论；（2）先判断出存在的点P必在圆O内，设出点P的坐标，利用点P到圆心O的距离的2倍是点P到圆的距离跨度，建立方程，由于存在距离跨度是2的点，此方程有解即可得出k的范围．（3）同（2）方法判断出存在的点P在圆C内部，由于在射线OA上存在距离跨度是2的点，同（2）的方法建立方程，用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式即可确定出范围．