Question

【题目】如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，BD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：BC平分∠DBA；
（2）若CD=6，BC=10，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】解：（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥DC，
∴OC∥BD，
∴∠DBC=∠BCO，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠DBC=∠CBO，
即BC平分∠DBA；
（2）解：连接AC，
在Rt△CBD中，BD==8，
∵AB为直径，C在圆上，
∴∠ACB=90°，
∴∠BDC=∠BCA，
∵∠DBC=∠ABC，
∴△ABC∽△CBD，
∴=，
∴=，
∴AB=，
即⊙O的半径为．

【解析】（1）连接OC，求出OC∥BD，推出∠CBA=∠DBC，根据角平分线定义得出即可；
（2）连接AC，根据勾股定理求出BD，证△ACB∽△CDB，得出比例式，代入后求出AB即可．