Question

【题目】如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．
（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：OE∥AC；
（2）如图2，已知AB=AC，若sin∠ADE= ， 求tanA的值．

Answer 1

【答案】解:（1）证明：连结OD，如图1，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
在Rt△OBE和Rt△ODE中，

∴Rt△OBE≌Rt△ODE，
∴∠1=∠2，
∵OC=OD，
∴∠3=∠C，
而∠1+∠2=∠C+∠3，
∴∠2=∠C，
∴OE∥AC；
（2）解：连结OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如图2，
∵AB=AC，OC=OD，
而∠ACB=∠OCD，
∴∠A=∠COD，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠ODF=90°，
而∠DOF+∠ODF=90°，
∴∠ADE=∠DOF，
∴sin∠DOF=sin∠ADE=，
在Rt△DOF中，sin∠DOF==，
设DF=x，则OD=3x，
∴OF==2x，DF=CF=x，OC=3x，
∵DHOC=OFCD，
∴DH==x，
在Rt△ODH中，OH==x，
∴tan∠DOH===，
∴tan∠A=．


【解析】（1）连结OD，如图1，根据切线的性质得∠ODE=90°，再证明Rt△OBE≌Rt△ODE得到∠1=∠2，加上∠3=∠C，则利用三角形外角性质可得∠2=∠C，然后根据平行线的判定可判断OE∥AC；
（2）连结OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如图2，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，由AB=AC，OC=OD，∠ACB=∠OCD可得∠A=∠COD，根据切线的性质得∠ODE=90°，则∠ADE+∠ODF=90°，
而∠DOF+∠ODF=90°，利用等角的余角相等得∠ADE=∠DOF，于是有sin∠DOF=sin∠ADE= ， 在Rt△DOF中，根据正弦的定义得到= ， 则可设DF=x，则OD=3x，利用勾股定理计算出OF=2x，DF=CF=x，OC=3x，接着可运用面积法计算出DH=span>x，然后在Rt△ODH中用勾股定理计算出OH=x，再根据正切的定义求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．