Question

【题目】已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D．

（1）如图1，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；
（2）如图2，若点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由．

Answer 1

【答案】解：（1）连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC
∴∠OCP=90°．
∵∠CPA=30°，
∴∠COP=60°
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°
∵PD平分∠APC，
∴∠APD=15°，
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．
（2）∠CDP的大小不发生变化．
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°．
∵PD是∠CPA的平分线，
∴∠APC=2∠APD．
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=2∠A，
在Rt△OCP中，∠OCP=90°，
∴∠COP+∠OPC=90°，
∴2（∠A+∠APD）=90°，
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．
即∠CDP的大小不发生变化．

【解析】（1）连接OC，则∠OCP=90°，根据∠CPA=30°，求得∠COP，再由OA=OC，得出∠A=∠ACO，由PD平分∠APC，即可得出∠CDP=45°．
（2）由PC是⊙O的切线，得∠OCP=90°．再根据PD是∠CPA的平分线，得∠APC=2∠APD．根据OA=OC，可得出∠A=∠ACO，即∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，则∠COP+∠OPC=90°，从而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°．所以∠CDP的大小不发生变化．