Question

【题目】已知⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，连接AC，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．

（1）如图1，当经过圆心O时，求的长．

（2）如图2，当与AB相切于A时．

①画出所在的圆的圆心P．

②求出阴影部分弓形的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）π﹣2．

【解析】

（1）只要证明△EA O是等边三角形即可解决问题；

（2）①过A点作AP⊥AB，再截取AP=2，则P点为所求，如图2；

②只要证明四边形AOCP是正方形即可解决问题.

（1）作半径OE⊥AC于F，连接AE，如图1，

∵沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，

∴OF=OE=OF，

∵OE⊥AC，

∴AE=AO，

∵OA=OE，

∴AE=AO=OE，

∴△AOE是等边三角形，

∴∠AEO=60°，

∴的长=；

（2）①过A点作AP⊥AB，再截取AP=2，则P点为所求，如图2；

②连结PC、OC，

∵AP=OA=OC=PC=2，

∴四边形PAOC为菱形，

而∠PAO=90°，

∴四边形PAOC为正方形，

∴S阴=×2×2=π﹣2．