Question

【题目】如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上．

（1）求证：AD是BC的垂直平分线．

（2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC．

（3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠EDF＝60°．

【解析】

（1）求出AB=AC，BD=DC，根据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）过D作DM⊥EF，连接AD，求出AD平分∠BAC，求出∠ABC=∠ACB=60°，求出BD=DM，BD=DC，推出DM=DC即可；
（3）求出DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，证出△EBD≌△EMD，推出∠BDE=∠EDM，同理∠CDF=∠FDM，进而得出2∠EDF=∠BDC=120°．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，

∴A在BC的垂直平分线上，

∵BD＝DC，

∴D在BC的垂直平分线上，

∴AD是BC的垂直平分线

（2）过D作DM⊥EF，连接AD，

∵AD是BC的垂直平分线，

∴AD平分∠BAC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵BD＝DC，∠BDC＝120°，

∴∠DBC＝∠DCB＝30°，

∴∠ABD＝∠ACD＝90°，

∴DB⊥AB，DC⊥AC，

∵DM⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC，

∴BD＝DM，BD＝DC，

∴DM＝DC，

∴FD平分∠EFC；

（3）如图，

∵DE平分∠BEF，DB⊥AB，DM⊥EF，DF平分∠CFE，

∴DB＝DM，DM＝DC，∠EBD＝∠EMD＝90°，

在△EBD和△EMD中
，
∴△EBD≌△EMD，

∴∠BDE＝∠EDM，

同理∠CDF＝∠FDM，

∴2∠EDF＝∠BDC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴∠EDF＝60°．